Позиционные системы счисления

Позиционные системы счисления являются алфавитными. Т.е. при записи чисел используются не иероглифы, а знаки – цифры (а иногда и буквы, когда цифр не хватает). В дальнейшем и цифры, и буквы в системах счисления мы будем ЦИФРАМИ.

Не надо путать числа и цифры.

Цифры — это знаки для записи чисел!

Например, в десятичной системе счисления цифра 7 служит для записи числа 7. Мы можем назвать ее и цифрой, и числом, в зависимости от ситуации.

Число 347 цифрой назвать нельзя!!!

Алфавит системы счисления – набор знаков (цифр).
Мощностью алфавита – количество цифр в алфавите.
Основанием системы счисления – количество цифр всех цифр, которые могут быть использованы при записи числа.

Как видим, два разных понятия: мощность алфавита и основание системы счисления с однородным (постоянным) основанием совпадают.

В информатике наибольшее распространение получили двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная система счисления.

Для того, чтобы понять в какой системе записано то или иное число, после него пишут основание системы с помощью подстрочного символа (индекса).

ПРИМЕР:

110101112 – число, записанное в двоичной системе.
12547638 – число, записанное в восьмеричной системе.
1254987610 – число, записанное в десятичной системе.
29AF16  – число, записанное в шестнадцатеричной системе.

Иногда, вместо числа пишется буква пишется буква

  • B(b) (би) от англ. binary двоичный
  • О(о) (оу) от англ. octal восьмеричный (вместо буквы О пишут Q (q) (кью), делается это для того, чтобы букву о не спутали с нулем)
  • D(d) (ди) от англ. decimalдесятичный
  • Н(h) (эйч) от англ. hexadecimalшестнадцатеричный

11010111b – число, записанное в двоичной системе.
1254763q  – число, записанное в восьмеричной системе.
12549876d – число, записанное в десятичной системе.
29AFh  – число, записанное в шестнадцатеричной системе.

Вообще, если после числа не стоит индекс, то подразумевается десятичная система счисления.

Системы счисления с переменным основанием

Большинство позиционных систем счисления имеет постоянное основание. То есть, основание у таких систем счисления не меняется. Такие системы счисления называются системами счисления с постоянным (однородным) основанием. Однако, есть системы счисления, в которых основание меняется. Все мы знаем такую системы счисления. Это система счисления времени.

Представление чисел в позиционных системах счисления

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.

Прежде чем рассматривать представление чисел в десятичной системе, нужно повторить (хотя бы мысленно) таблицу сложения и умножения. Только после этого мы можем представить любое десятичное число в виде:

Любое число в десятичной системе счисления можно представить так:

Таким образом записываются и дробные числа (с десятичной дробью):

Ну и самое главное, все эти десятки в разных степенях при записи наших чисел являются весовым коэффициентом разряда или базисом.

Вообще, базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает количественное значение или «вес» каждого разряда.

Отличие позиционных систем счисления от непозиционных

Чем отличаются непозиционные системы счисления от позиционных рассмотрим на примере:

Число II (два) в Римской системе счисления. Здесь его можно прочитать как (один плюс один)

Число XX (двадцать) в римской системе счисления — (десять плюс десять)

Число IX (девять) во все той же римской системе счисления читается как (десять минус один).

Где бы не стояла цифра в римской системе счисления, она обозначает одно и тоже число.

В позиционных системах счисления каждая цифра, имеет свой вес:

Число 22 в десятичной системе мы можем записать так:

В позиционной системе счисления чем левее стоит цифра, тем больше ее вес.

Соответствие чисел в различных системах счисления

Двоичная

Десятичная

Восьмеричная

Шестнадцатеричная

0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F

В шестнадцатеричной системе счисления на десятом числе цифры закончились, поэтому вместо чисел 10, 11, 12, … используют буквы А, В, С,

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ:

  1. Что такое основание, алфавит и мощность алфавита?
  2. Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных?
  3. Что такое базис числа?