Системы счисления

Определение систем счисления

Система счисления – это совокупность правил для записи чисел.
Числа записываются с помощью знаков, которые называются цифрами. Необязательно это будут 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Это могут быть буквы иероглифы и т.д.
Не надо путать числа и цифры. Цифры — это знаки для записи чисел! 
Например, в десятичной системе счисления цифра 7 служит для записи числа 7. Мы можем назвать ее и цифрой и числом, в зависимости от ситуации.
Но число 347 цифрой назвать нельзя!!!

Все знаки (цифры) системы счисления называются алфавитом.
Количество всех используемых знаков называется основанием системы.

Система счисления Основание Кол-цифр (алфавит)
Двоичная 2 0,1
Троичная 3 0,1,2
Восьмеричная 8 0,1,2,3,4,5,6,7
Десятичная 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Шестнадцатеричная 15 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Существует множество систем счисления.Рассмотрим некоторые из них:

Рисунок 1: Виды систем счисления
Системы счисления

Самой первой системой счисления была единичная, унарная система счисления. Узелки, зарубки, камушки — все это использовали наши предки, считая свой товар. Да и сейчас, когда вы ставите крестик на руке, чтобы чего-нибудь не забыть — обращаетесь к унарной системе счисления.
Это непозиционная система счисления, равно как и все в этой группе непозиционных систем, представленных на рисунке.
Чем они отличаются от позиционных рассмотрим на примере:

Число II (два) в Римской системе счисления. Здесь его можно прочитать как (один плюс один)
Число XX (двадцать) в римской системе счисления  — (десять плюс десять)
Число IX (девять) во все той же римской системе счисления читается как (девять минус один).
Где бы не стояла цифра в римской системе счисления, она обозначает одно и тоже число.

В позиционных системах счисления каждая цифра, имеет свой вес:
Число 22 в десятичной системе мы можем записать так 2 * 10 + 2 = 20 + 2 = 22 (два десятка плюс две единицы). Чем левее стоит цифра, тем больше ее вес.

Мы будем изучать только позиционные системы счисления:

  • Двоичную
  • Восьмеричную
  • Десятичную
  • Шестнадцатеричную

Славянская система счисления…
Славянская система счисления не так хорошо известна как арабская (десятичная). Русский народ сделал проще. Чтобы не выдумывать цифр, они взяли буквы, договорились какую цифру какая буква обозначает, а чтобы не путать буквы и цифры, над последними стали ставить знак «титло«. Вот фрагмент алфавита.Цифры очень похожи на буквы. Для обозначения больших чисел к цифрам приписывали различные черточки и т.д.

kirilica-cifri

А еще раньше считали не десятками как в сегодняшней десятичной системе счисления, а пятками (по количеству пальцев на одной руке). Мы все прекрасно помним сказку «Конек-Горбунок». Там есть такие строки:

…Продаешь ты?»
«Нет, меняю». —
«Что в промен берешь добра?» —
«Два-пять шапок серебра». —

«То есть, это будет десять».
Царь тотчас велел отвесить
И, по милости своей,
Дал в прибавок пять рублей.
Царь-то был великодушный!…

Иван-Дурак использовал пятеричную системы счисления: «Два-пять шапок серебра». А царь уже переводит в десятичную (видимо ему так привычнее).


Десятичная система счисления.
Арабские цифры оказались куда удобнее, чем все прочие (кстати десятичная система, потому что на двух руках 10 пальцев). Один арабский ученый предложил считать количество углов в геометрической фигуре и придумал десять таких фигур.

Рисунок 3: Арабские цифры
dec

Со временем углы считать перестали и цифры скруглились.


Представление чисел в десятичной системе счисления:
В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.

Прежде чем рассматривать представление чисел в десятичной системе, нужно повторить (хотя бы мысленно) таблицу сложения и умножения. Только после этого мы можем представить любое десятичное число в виде:
4587210 = 4*10000 + 5*1000 + 8*100 + 7*10 + 2*1
или
4587210 = 4*104 + 5*103 + 8*102 + 7*101 + 2*100

Маленький значок 10 в конце нашего числа 4587210  (выделен красным цветом) показывает основание системы счисления.

Так можно представлять как целые, так и дробные числа (имеется ввиду десятичная дробь):
72,45810 = 7*10 + 2*1 + 4*0,1 + 5*0,01 + 8*0,001
или
72,45810 = 7*101 + 2*100 + 4*10-1 + 5*10-2 + 8*10-3

Ну и самое главное, все эти десятки в разных степенях при записи наших чисел
являются весовым коэффициентом разряда.

  • 100 = 1
  • 101 = 10
  • 102 = 100
  • 103 = 1000
  • 104 = 10000 и так далее…

Двоичная система счисления…
…система,

  • которая используется для записи всей информации в компьютере;
  • которая используется в алгебре логики

Для записи чисел используется 0 (ноль) и 1 (единица) — всего два знака. Представим двоичное число так, как десятичное выше:
11012=1*1000 + 1*100 + 0*10 + 1*1
или
11012=1*1011 + 1*1010 + 0*101 + 1*100

Если первая запись более или менее понятна, то вторая смотрится как-то странно. Давайте разберем ее подробнее:
Для начала нам надо выучить таблицы сложения и умножения (проще таблица умножения):

Таблица умножения:

Таблица сложения

0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

С таблицей умножения все понятно, а вот таблица сложения, ее последняя строчка выглядит странно.
В десятичной системе счисления мы располагали десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигал 9, то вводился новый разряд (десятки), а единицы обнулялись и счет начинался снова. После 19 разряд десятков увеличивался  на 1, а единицы снова обнулялись. И так далее.
В двоичной системе тоже самое, только цифр меньше (всего две), поэтом новый разряд приходится вводить уже на третьем числе 0,1,10,11,100,101,110,111,1000.
Вот соответствие десятичной и двоичной систем счисления

Двоичная система Десятичная система
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Двоичная система Десятичная система
100 = 1 20 = 1
101 = 10 21 = 2
1010 = 100 22 = 4
1011 = 1000 23 = 8
10100 = 10000 24 = 16
10101 = 100000 25 = 32
10110 = 1000000 26 = 64
10111 = 10000000 27 = 128
101000 = 100000000 28 = 256
101001 = 1000000000 29 = 512
101010 = 10000000000 210 = 1024

И всем, кто собирается сдавать ОГЭ по информатике полезно знать степени двойки. Это помогает при  решении некоторых задач.
Попробуем подставить вместо двоичных чисел десятичные, получим:
11012=1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20
Если мы решим этот пример, получим новое число, в десятичной системе, которое соответствует, нашему двоичному числу
11012=1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 1*8 + 1*4 + 0*2 + 1 = 1310
Поздравляю, мы только что перевели число из двоичной системы счисления в десятичную.

Продолжение следует…