Двоичная система счисления. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную

Двоичная система счисления – это система, которая…

  • …используется для записи всей информации в компьютере;
  • …используется в алгебре логики

Для записи чисел используется 0 (ноль) и 1 (единица) — всего два знака.
Чтобы представить двоичное число также, как и десятичное, нам необходимо знать двоичную таблицу умножения и сложения.
К каждой системе счисления можно применить четыре арифметических  действия: сложение, вычитание, умножение и деление
(+, –, *, :).
Чтобы уметь выполнять эти действия в двоичной системе счисления, нужно знать правила сложения и умножения.

Самая простая таблица – это таблица умножения
С таблицей сложения дело обстоит немного сложнее. Давайте попробуем разобраться.
В десятичной системе счисления мы располагали десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигал 9, вводился новый разряд (десятки), а единицы обнулялись и счет начинался снова. После 19 разряд десятков увеличивался на один, а единицы снова обнулялись. И так далее.
В двоичной системе тоже самое, только цифр меньше (всего две), поэтому новый разряд приходится вводить уже на третьем числе 0,1,10,11,100,101,110,111,1000.

Получается этакий «ДВОИЧНЫЙ ДЕСЯТОК»

Вот соответствие десятичной и двоичной систем счисления:

ПРИМЕР: Сложить два числа в двоичной системе: 11002 и 1102.

ПРИМЕР: Найти разность двух чисел в двоичной системе: 11002 и 1102.

ПРИМЕР: Умножить два числа в двоичной системе: 11012 и 1102.

После всего того, что мы узнали, числа в двоичной системе можно представить таким образом:

Пусть вас не смущает, что вместо двойки мы пишем 10 – это «двоичный десяток». Ведь мы представили число в двоичной системе, а значит все числа записываем тоже в двоичной системе.
Однако, такая запись нам неудобна. Мы привыкли к десятичной системе. Давайте запишем наше двоичное число, десятичными числами. Получим:

Если мы попробуем решить данный пример, получим:

Поздравляю, только что мы перевели число из двоичной системы счисления в десятичную.

ЗАДАЧА: Перевести число 1010112 в десятичную:
Перевод целого  числа из какой-либо системы счисления в другую:
Пронумеруем разряды числа 1010112 справа налево, начиная с нуля

Умножим каждую цифру числа на основание его системы (в нашем случае основание равно 2), возведенное в степень номера этого разряда и сложим полученные числа:

Аналогичным образом переводим числа из других систем счисления в десятичную.

Алгоритм перевода целых чисел
из любой системы счисления в десятичную:

  1. Пронумеровать разряды числа справа налево, начиная с нуля
  2. Умножить каждую цифру числа на основание его системы, возведенное в степень номера этого разряда и сложить полученные числа.

ПРИМЕР:

ПРИМЕР: